Algèbre linéaire Exemples

$- 10 - 2 i$

Étape 1

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où

$| z |$ est le module et

$θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 2

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où

$z = a + b i$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de

$a = - 10$ et

$b = - 2$ .

$| z | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 10)}^{2}}$

Étape 4

Déterminez

$| z |$ .

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Étape 4.1

Élevez

$- 2$ à la puissance

$2$ .

$| z | = \sqrt{4 + {(- 10)}^{2}}$

Étape 4.2

Élevez

$- 10$ à la puissance

$2$ .

$| z | = \sqrt{4 + 100}$

Étape 4.3

Additionnez

$4$ et

$100$ .

$| z | = \sqrt{104}$

Étape 4.4

Réécrivez

$104$ comme

$2^{2} \cdot 26$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez

$4$ à partir de

$104$ .

$| z | = \sqrt{4 (26)}$

Étape 4.4.2

Réécrivez

$4$ comme

$2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} \cdot 26}$

Étape 4.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| z | = 2 \sqrt{26}$

Étape 5

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{- 2}{- 10})$

Étape 6

Comme la tangente inverse de

$\frac{- 2}{- 10}$ produit un angle dans le troisième quadrant, la valeur de l’angle est

$3.33898821$ .

$θ = 3.33898821$

Étape 7

Remplacez les valeurs de

$θ = 3.33898821$ et

$| z | = 2 \sqrt{26}$ .

$2 \sqrt{26} (\cos (3.33898821) + i \sin (3.33898821))$